Résume des cours des maths MP

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sommaire

Algèbre linéaire – Dualité 1

1 Matrices et applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Espaces vectoriels norm´es 9

1 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Notion de convergence dans un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Topologie dans un EVN 17

1 Compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Continuit´e d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 S´eries dans un EVN 23

1 Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 S´erie dans une alg`ebre norm´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Outils d’alg`ebre g´en´erale 31

1 Id´eaux d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Le cas de IK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Fonction polynˆomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 R´eduction des endomorphismes 37

1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Calcul diff´erentiel 43

1 Fonctions d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Fonctions de plusieurs variables r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Fonctions implicites et inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Extrema des fonctions r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Table des mTaatbie`leredses matie`res

9i9i9

8 Int´egration de fonctions vectorielles 57

1 Int´egration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Int´egration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 Equations diff´erentielles 67

1 Rappels MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2 ´Equations diff´erentielles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 ´Equations diff´erentielles non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10 Alg`ebre bilin´eaire 79

1 Formes bilin´eaires et Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2 R´eduction des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11 Espaces euclidiens 87

1 Espace pr´ehilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2 Enomorphisme dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12 Suites et s´eries de fonctions 97

1 Convergence des suites et s´eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2 S´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13 Int´egrales `a param`etre 109

1 Th´eor`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

14 S´eries de Fourier 115

1 L’espace de Hilbert `2(Z; IK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2 Espace pr´ehilbertien L(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Coefficients de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4 Convergence d’une s´erie trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

15 Courbes et surfaces 123

1 Courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2 Etude m´etrique des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3 Notion de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

16 Formes diff´erentielles 131

1 Forme diff´erentielle de degr´e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

17 Int´egrales doubles 137

1 Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

18 Fonctions holomorphes 139

1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2 Fonctions

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